IB生であれば、誰もがIA課題に苦しんだ経験があるでしょう……。その中でも最も難しいIAは、何と言っても数学IAです。多くの学生にとって、数学という科目でレポートを書くのは初めての経験であり、不慣れで難しく感じるはずです。数学で7点を取得するためには、IAで高得点を取ることが不可欠です。そしてIA高得点の出発点は、良いテーマ選びにあります。そこで今回は、IB数学IAで高得点を狙うのに有利な7つのテーマを紹介します。

1. ベクトルと行列を用いた幾何学的変換 Geometric Transformations Using Matrices and Vectors

最初に取り上げるテーマは、行列の掛け算を用いたベクトルの幾何学的変換です。例えば三次元空間において、ロケットの速度ベクトルをx軸・y軸・z軸を基準に回転させた場合、新しい速度の方向はどのように求められるでしょうか。実際、航空工学では飛行物体の姿勢変化をyaw、pitch、rollという用語で表現します。 以下の3×3行列をベクトルに掛けることで、三次元空間におけるベクトルの回転を表すことができます。

さらに、画像処理の分野でも幾何学的変換は非常に有用です。例えばアインシュタインの写真は、無数の(x, y)座標を持つピクセルで構成されています。画像に回転（rotation）、せん断（shear）、圧縮（compression）などの変換を加えたい場合、すべてのピクセルの(x, y)座標に同じ変換操作を適用すればよいのです。

このように、ベクトルと行列の応用から発展させられる数学IAのテーマは無限にあります。特に、IB物理を履修している学生や、将来航空工学・電子工学・コンピュータ工学を専攻したいと考えている学生にとって、このテーマはpersonal engagementの点数を高めるために、個人的なストーリーを展開しやすい分野です。

2. クーポン収集問題 Coupon Collector’s Problem

二つ目のテーマは、日常生活に関連した比較的身近な話題です。最近、ポケモンパンが大きなブームとなりました。その魅力は、パンを購入すると付いてくるポケモンシールです。数学IAについて数日間悩んでいたある学生が、次のような疑問を投げかけました。

「パンを買うたびにn種類のシールのうち1枚がランダムに出るとする。すべてのn種類を集めるには、何個のパンを買えばよいのだろうか？」 ― パンが大好きな無名のIB学生

最初のうちは新しいシールを簡単に入手できますが、後半になるにつれて、まだ持っていない新しいシールを手に入れるために、より多くのパンを購入しなければならなくなります。IBのシラバスを少し超えた統計概念を応用すれば、最終的に必要なパンの数は収束することが導き出せます。

高得点のIAはここで終わりません。さらに次のような追加質問を投げかけるでしょう。 ランダムに引くのではなく、まだ持っていないシールをオンラインオークションで購入 する場合、合理的な価格はいくらまでだろうか。 すべてのシールが同じ確率で出現しない場合、解法のアプローチはどのように変わるのか。

3. ナップサック問題 Knapsack Problem

三つ目のテーマは最適化に関連するナップサック問題です。ナップサックに入れられる最大重量が決まっているとき、異なる重量と価値を持つ品物の中から、どの組み合わせを選べば総価値を最大にできるでしょうか。 一見すると、重量あたりの価値が高いものを選べば良さそうですが、実際にはその方法が常に最適解を与えるわけではありません。そのため、学術界ではさまざまなアルゴリズムが研究されています。

この問題は整数計画法（Integer Programming）を用いてモデル化し、解くことができます。

重量、体積、時間、予算などの資源制約のもとで最適な選択を行い、最大の成果を得るというテーマから、さまざまなIAのアイデアが考えられます。例えば、限られた予算で最強の野球チームを編成するにはどの選手を選ぶべきか。あるいは、投資ポートフォリオを構築する際にどの株式を選ぶべきか（リスク指数と期待収益のバランスを考慮する必要があります）。

経営、経済、数学、コンピュータサイエンスに関心のある学生に適したテーマであり、効率や最適化に興味を持つ学生なら誰でも挑戦しやすい分野です。

4. 待ち行列理論 Queueing Theory

これは私の専攻である産業工学でよく研究されるテーマです。待ち行列は日常生活のあらゆる場面で発生します。

工場の生産ラインを流れる部品、銀行やスーパー、遊園地でサービスを待つ顧客など、すべて待ち行列理論で分析することができます。MITのジョン・リトル教授が提唱したリトルの法則は、現在でも経営工学の分野で広く活用されています。

待ち行列理論を応用したIAテーマとしては、次のようなものが考えられます。

• 顧客の待ち時間を最小化するには、銀行は何窓口を運営すべきか。
• トイレごとに別々に並ぶのと、外で一列に並ぶのとではどちらが効率的か。
• サンドイッチを効率よく作るための分業システムとは何か。 観察力があり、システムを分析・改善することに興味のある学生におすすめのテーマです。

5. 最適化 Optimization

一定の体積の飲料を入れるために、最小限のアルミニウムで缶を設計するにはどうすればよいでしょうか。 数学HLを履修している学生は、このような問題に多く触れているはずです。

微積分の単元では最適化問題が頻出ですが、IB試験では通常、1変数関数の最大・最小問題が中心です。複数変数を同時に扱う最適化は難易度が高く、試験時間内に解くのは困難です。

しかし、十分な時間をかけられるIAでは、多変数最適化に挑戦する価値があります。創造的な学生は、日常生活や論文の中から最適化シナリオを見つけ出し、ラグランジュ乗数法などを用いて解くことができます。

6. 最短経路探索 Shortest Route Finding (feat. 在庫管理 Inventory Management)

A地点からB地点まで最も速く到達する経路はどれか。この問題は多くの数学者が研究してきました。改訂されたIBシラバスのグラフ理論とも関連づけやすいテーマです。

最短経路問題は、最小コストで最適解に到達するあらゆる問題に応用できます。私の研究分野であるサプライチェーン管理でも頻繁に登場します。

在庫管理の応用例としては、次のようなシナリオが考えられます。

今後10か月間の需要を予測できる場合、

• 毎月初めに生産を行う方が経済的か。
• 在庫が尽きるたびに一定量を生産する方が良いのか。

実在の企業や公共機関の事例を分析し、解決策を模索することで、定量的な問題解決能力を養うことができます。

7. 包絡線定理 Envelope Theorem

芸術にも数学にも興味があるが、どう組み合わせればよいか分からない学生は注目してください。 多くの数学者は、数学そのものから美的な喜びを感じると言います。

• 美しい曲線を数式で完全に説明できたらどれほど面白いでしょうか。
• 直線だけを使って曲線を表現することはできないでしょうか。

包絡線（envelope）の概念を使えば、それは可能です。

包絡線とは、ある曲線族（family of curves）に属する無限個の曲線すべてに接する曲線であり、微分方程式を用いて描くことができます。

数学的感性を持つ芸術家を目指す学生や、数学の美に没頭したい学生に強くおすすめするテーマです。

結論

高得点のIAは、単なる難易度の高さによって決まるものではありません。分析の深さ、論理の明確さ、発展性、そして主体的な関与によって評価されます。 優れたテーマは、数学的な成熟度を示すと同時に、自身の興味や関心と結び付けることを可能にします。 最終的に、IAは単なる課題ではなく、自分の数学的思考力を示すための機会なのです。